Blick ins Unendliche

Vor einer Woche eröffnete das Mathematikum in Gießen seine neue Ausstellung „Kein Ende in Sicht – Unendlichkeit zum Anfassen“. Damit wagte sich das hessische Science Center an ein kniffliges Thema. Den richtigen Umgang mit dem Unendlichen lernten Mathematiker erst vor rund 140 Jahren, und wer heute das Gebiet betritt, kommt aus dem Staunen nicht heraus.

Science-Fiction-Fans kennen es natürlich: Das Raumschiff Enterprise saust durch die unendlichen Weiten des Weltalls; der schnelle Raumkreuzer Orion absolviert seine Raumpatrouille am Rande der Unendlichkeit. Das Unendliche ist das Größte, was es gibt. Das wissen auch die Mathematiker, die es seit den 1870er-Jahren erforschen.

Neben dem unendlich Großen gibt es das unendlich Kleine; darauf baute im 17. Jahrhundert der berühmte Gottfried Wilhelm Leibniz die Infinitesimalrechnung auf. Schon der antike Denker Zeno ersann den Wettlauf von Achilles und der Schildkröte. Sie läuft langsamer als der homerische Held und startet das Rennen fairerweise mit einem Vorsprung. Achilles holt immer wieder auf, doch zugleich krabbelt die Schildkröte ein Stückchen weiter, am Ende unendlich oft. Überholen kann Achilles – so scheint es zumindest – die Schildkröte nie.

Keine Mathematik ohne Puzzle: das Entwicklungsteam der Ausstellung „Kein Ende in Sicht“ Laila Samuel (links), Albrecht Beutelspacher und Melanie Blaschko (Foto Mathematikum)

Aber bleiben wir bei der großen Unendlichkeit, wie auch das Mathematikum in Gießen. Das Wissenschaftsmuseum und sein Leiter Albrecht Beutelspacher eröffneten letzte Woche die Sonderausstellung Kein Ende in Sicht. Ihre Besucher können bis März 2019 die Unendlichkeit sehen, anfassen und mit ihr experimentieren. Ein Film stellt dabei Konzepte des Mathematikers Georg Cantor vor. Er lehrte ab 1877 an der Universität Halle und schuf damals die Grundlage für die wissenschaftliche Behandlung des Unendlichen.

Ihm verdanken wir den Begriff der Mächtigkeit unendlicher Mengen, etwa derjenigen der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4,… Ebenso mächtig sind alle Zahlenmengen, die man ordentlich aufreihen kann; sie erhalten das Prädikat „abzählbar unendlich“ und die Klassifikation Aleph-0. Aleph ist der erste Buchstabe des hebräischen Alphabets. Abzählbar unendlich sind die Quadrate 1, 4, 9, 16,… und die ganzen Zahlen. Bei ihnen muss man einen Trick anwenden und negative Nummern zwischen die positiven setzen: 1, -1, 2, -2, 3, -3,…

Georg Cantors Diagonalbeweis zeigt die Aufreihung der Brüche und damit ihre Abzählbarkeit (Bild Cronholm144 CC BY-SA 3.0).

Cantor bemerkte auch, dass es so viele natürliche Zahlen wie Brüche gibt. Er fand dafür einen Beweis durch Hinschauen, siehe das Bild oben. Ein jüngerer Kollege von Cantor war David Hilbert, Mathematikprofessor an der Universität Göttingen. Er symbolisierte das rätselhafte Aleph-0 durch ein Hotel mit unendlich vielen Zimmern. Selbst wenn es belegt ist, lassen sich immer neue Reisende unterbringen, sogar unendlich viele. Alle Hotelgäste ziehen einfach ein Zimmer weiter oder von Zimmer X nach 2X. Auf diese Weise werden die abzählbar unendlichen Räume mit ungeraden Nummern frei.

Die wichtigste Entdeckung von Georg Cantor waren aber die Mengen höherer Mächtigkeit. Eine solche bilden die reellen Zahlen, also die positiven oder negativen Dezimalzahlen mit Komma und gegebenenfalls endlosen Kommastellen. Diese Zahlen lassen sich nicht so schön anordnen wie die natürlichen, was Cantor durch eine geniale Methode nachwies. Die reellen Zahlen besitzen die Mächtigkeit Aleph-1. Das Gleiche gilt für die Menge der Punkte auf Linien, auf Flächen und in Räumen, seien sie endlich oder unendlich groß.

Aus eins mach zwei – das Banach-Tarski-Paradox (Bild Benjamin D. Esham)

Damit springen wir von den Ziffern und Zahlen ins Reich der Geometrie, hier kann die Unendlichkeit ungeahnte Folgen haben. So lässt sich eine Kugel in mehrere Teile zerlegen, aus denen man anschließend zwei Kugeln von gleicher Größe bilden kann. Das fanden 1924 die polnischen Logiker Stefan Banach und Alfred Tarski; dabei bauten sie auf Ideen des deutschen Mathematikers Felix Hausdorff und des Italieners Giuseppe Vitali auf. Die Kugel muss man hier als reine Punktmenge und ihre Teile als unregelmäßige Punktwolken deuten.

Die Elemente des Banach-Tarski-Paradoxon lassen sich nur schlecht anfassen und können nicht im Mathematikum vorgeführt werden. Dafür zeigt es aber Hilberts Hotel und spielt die ins Unendliche aufsteigende Tonleiter, die der Psychologe Roger Shepard schuf. Einen fünf Minuten langer Auszug gibt es hier. Eine Weile länger läuft die Unendlichkeitsmaschine des HNF. Sie steht zur Zeit in der Sonderausstellung Digging Deep und kehrt am 5. August ins Depot zurück.