Primzahl, wo bist Du?

Geschrieben am 16.02.2016 von

Seit nunmehr 20 Jahren hält die Große Internet-Mersenne-Primzahlensuche oder GIMPS Ausschau nach möglichst großen Zahlen, die sich nur durch 1 und sich selbst teilen lassen. Kürzlich fanden ein Teilnehmer des Projekts und sein Computer eine neue Spitzenreiterin, eine Zahl mit 22.338.618 Ziffern. Aber Primzahlen ergeben auch schöne Muster, wenn man sie in eine Spirale setzt.

Primzahlen lassen sich eigentlich leicht verstehen. Sie gehören zu den natürlichen Zahlen 1,2,3,4,5,…, sind aber größer als 1 und nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar. Daraus ergibt sich die Folge 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…, die oben rein grafisch dargestellt ist. Primzahlen sind zudem nützlich, denn mit ihnen bzw. ihrer mathematischen Theorie wurden computergestützte Verschlüsselungen entwickelt, die bei richtiger Anwendung kein Geheimdienst der Welt knacken kann.

Primzahlen gibt es unendlich viele. Zum Beweis nehmen wir einmal das Gegenteil an, dass nur eine endliche Anzahl existiert und darunter eine größte Primzahl G. Dann fällt aber bei der Division der Zahl (2 x 3 x 5 x 7 x 11 x … x G) + 1 durch irgendeine Primzahl stets der Rest 1 an. Besagte Zahl ist also prim – und klar größer als G – oder Produkt von zwei oder mehr Primzahlen, die ebenfalls größer als G sind. Beispiel: (2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17) + 1 ist gleich 510.511, und das ist 19 x 97 x 277. Ergo war unsere Annahme falsch, und die Unendlichkeit der Primzahlen ist bewiesen.

Seit Jahrhunderten spüren Mathematiker immer längere Primzahlen auf. 1951 gab der französische Lehrer Aimé Ferrier die größte an, die mit einer Tischrechenmaschine ermittelt wurde. Sie umfasste 44 Stellen und entsprach dem Resultat der Division (2148+1) / 17. Im gleichen Jahr fanden Jeffrey Miller und David Wheeler mit dem Röhrenrechner EDSAC der englischen Universität Cambridge eine 79-stellige Primzahl. Seitdem läuft die Jagd nach immer höheren Werten nur mit Computern ab.

Dabei konzentrieren sich die Forscher auf natürliche Zahlen des Typs 2n – 1, den Mersenne-Zahlen. Sie sind nach einem französischen Theologen benannt, der im 17. Jahrhundert über sie nachdachte. Die Mersenne-Primzahlen sind dann eine Teilmenge der nomalen Mersenne-Zahlen. Für sie gilt, dass auch der Exponent n prim ist, was die Suche nach ihnen ein wenig erleichtert. Lange galt die Konvention Mn = 2n – 1, doch wegen der Größe der schon gefundenen Mersenne-Primzahlen setzt man heute die Kennnummer nicht mehr als Index, sondern direkt neben das M.

Die Aufgabe der Mersenne-Fans besteht nun aus der Prüfung, ob eine bestimmte Zahl prim ist. Seit 1996 arbeiten sie im Rahmen der GIMPS oder Great Internet Mersenne Prime Search zusammen, an der jeder teilnehmen kann, der über einen schnellen Computer verfügt. Über Details informiert die Seite www.mersenne.org . Am 6. September 2008 war auch ein Hobbymathematiker aus Langenfeld im Rheinland erfolgreich: Hans-Michael Elvenich konnte M37156667 als Primzahl identifizieren.

Elvenichs Zahl umfasst 11.185.272 Ziffern, doch errechnete ein Computer an der Universität von Kalifornien schon zwei Wochen vorher M43112609 mit 12.978.189 Ziffern. Für die erste entdeckte Mersenne-Primzahl mit über 10 Millionen Stellen konnte der glückliche Programmierer 100.000 Dollar kassieren, die die Electronic Frontier Foundation ausgelobt hatte. Noch nicht abgeholt sind 150.000 Dollar für die erste Zahl mit mehr als 100 Millionen Ziffern und 250.000 Dollar für die erste mit mehr als einer Milliarde.

Die vorletzte Rekordzahl legte Anfang 2013 Curtis Cooper von der University of Central Missouri vor: M57885161 brachte 17.425.170 Ziffern mit. Am 17. September 2015 meldete Coopers Computer dann die 22.338.618 Ziffern lange Mersenne-Nummer M74207281, doch blieb die Information monatelang unbemerkt. Aus diesem Grund verkündete das GIMPS-Projekt die neue Spitzenreiterin erst am 7. Januar 2016. Die nächste Primzahlenkönigin wird sicher noch vor Ende des Jahrzehnts gekrönt.

Wer nicht auf die Mersenne-Jagd gehen, aber im Primzahlen-Land bleiben will, der findet vielleicht Freude an der Ulam-Spirale. Erfunden vom gleichnamigen polnisch-amerikanischen Mathematiker, zeigt sie die Primzahlen auf der um vier Ecken gewickelten Zahlengerade – siehe unten – und schon gewisse Strukturen. Auffällig sind vor allem die diagonalen Aufreihungen.

Das Netz hält viele solcher Spiralen bereit, die man mit der Google-Bildersuche und den Stichworten „Ulam-Spirale“ oder „Ulam spiral“ findet. Zum Online-Spielen bitte den spiral generator aufrufen und für mehr Informationen auf diese oder jene Seite gehen. Erklären können wir die Spiralen und ihre faszinierenden Muster leider nicht, doch Spaß machen sie auf jeden Fall.

 

Spirale

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3 Kommentare auf “Primzahl, wo bist Du?”

  1. Stu Savory sagt:

    A number N is prime if and only if factorial(N-1) modulo(N) = -1

    How’s that for an inefficient test? 😉

  2. „Die Primzahlen wachsen wie Unkraut unter
    den natürlichen Zahlen. Sie scheinen keinem anderen Gesetz als dem des Zufalls zu gehorchen und niemand kann vorher-sagen, wo die nächste sprießen wird.

    Die zweite Tatsache ist noch erstaunlicher, denn sie behauptet genau das Gegenteil; dass die Primzahlen eine erstaunliche Regelmäßigkeit zeigen. Dass es Gesetze gibt, die ihr Verhalten steuern und sie diesen Gesetzen mit fast militärischer Disziplin gehorchen.“ (Don Zagier: Antritts-vorlesung „Die ersten 50 Millionen Prim-zahlen“, Bonn, 1975)

  3. Georg Markowitz sagt:

    …. 1 nein …. 2 ja …. die Definition ist falsch … Richtig ist …. NUR durch sich selbst teilbar = 1 …..Es grüßt „the brain ilMaestroGM“

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