Kurt Gödel, Beherrscher der Unvollständigkeit

Er gilt als der bedeutendste Logiker des 20. Jahrhunderts: Kurt Gödel. Geboren wurde er am 28. April 1906 im heute tschechischen Brünn. 1930 revolutionierte er das Fach durch zwei Unvollständigkeitssätze. Von 1940 bis zu seinem Tod im Januar 1978 lebte Gödel im amerikanischen Princeton. Auch Nicht-Logiker wissen von seinen Ideen für Zeitreisen und seinem Gottesbeweis.

Hans Magnus Enzensberger, Hausdichter des HNF, kannte ihn natürlich: „Münchhausens Theorem, Pferd, Sumpf und Schopf, / ist bezaubernd, aber vergiss nicht: / Münchhausen war ein Lügner. / Gödels Theorem wirkt auf den ersten Blick / Etwas unscheinbar, doch bedenk: / Gödel hat recht. […] Diese Sätze nimm in die Hand / Und zieh!“

Die Sätze erläutern wir noch, wir möchten erst ihren Protagonisten vorstellen. Kurt Gödel kam am 28. April 1906 im mährischen Brünn zur Welt; der Vater leitete eine Textilfirma. Damals gehörte die mehrheitlich deutschsprachige Stadt zur Doppelmonarchie Österreich-Ungarn; Ende 1918 hieß sie Brno und lag in der Tschechoslowakei. 1923 wurde Gödel Staatsbürger der neuen österreichischen Republik, ein Jahr später zog er zum Studium nach Wien. Er widmete sich der theoretischen Physik, wechselte dann aber zu den Grundlagen der Mathematik.

Im Februar 1930 erhielt Gödel den Doktortitel für eine Arbeit über die Vollständigkeit des Logikkalküls. Darin zeigte er, dass jeder allgemeingültige Satz der Prädikatenlogik – wir überspringen einmal die Feinheiten – sich formal beweisen lässt. Im September trug er sein Resultat in Königsberg vor. Dort hielt die Gesellschaft Deutscher Naturforscher und Ärzte ihre alle zwei Jahre stattfindende Versammlung ab, eine Untertagung behandelte die exakte Erkenntnislehre. In der Schlussdiskussion am 7. September 1930 skizzierte Kurt Gödel eine neue Idee, seinen Unvollständigkeitssatz.

Ende 1931 publizierte er die komplette Version; danach war die Welt der Logik nicht mehr dieselbe. Gödel wies nach, dass es in der Arithmetik, also unserer gewohnten Mathematik, Aussagen geben muss, zu denen kein arithmetischer Beweis existiert. Ebenso wenig kann man ermitteln, ob die Arithmetik frei von Widersprüchen ist. Zu den zwei Sätzen fiel Hans Magnus Enzensberger der mythische Münchhausen ein, der sich an den eigenen Haaren aus dem Sumpf zieht. Für die Herleitung der gegenteiligen Erkenntnis erfand Kurt Gödel eine Mathematisierung der Logik, die später Gödelisierung genannt wurde.

Kurt Gödel im Jahr 1963  (Foto Alfred Eisenstaedt CC BY 4.0)

In den 1930er-Jahren lehrte er in der Universität Wien; außerdem reiste er dreimal in die Vereinigten Staaten. 1938 heiratete Kurt Gödel. Im Januar 1940 konnte er mit seiner Frau das von Deutschland annektierte Österreich verlassen und nach Amerika emigrieren, wo er sich in Princeton niederließ. 1948 wurde Gödel US-Bürger und 1953 Professor am Institute for Advanced Study. Er war mit dem gleichfalls dort tätigen Albert Einstein befreundet. Man sieht beide ab Minute 1:05 im Video, Gödel ist der mit der Aktentasche unterm Arm. Dieser Link führt zu einer Tonaufnahme von ihm aus dem Jahr 1949.

Für Einzelheiten seiner Forschungen verweisen wir auf die Wikipedia und die Notices der American Mathematical Society von 2006 – Achtung, lange Ladezeit! Eine gute Darstellung der Unvollständigkeitssätze liefert der Wuppertaler Mathematik-Historiker Erhard Scholz. Das Internet Archive verwahrt Gödels Collected Works; wer sich hier anmeldet, kann das Gödel-Buch des chinesisch-amerikanischen Logikers Hao Wang studieren. Die jüngste Biografie in deutscher Sprache verfasste William Brewer; sie ist leider nicht online.

Frei zugänglich sind Gödels Gedanken zu Zeitreisen von 1949. Für die nötige Zeitmaschine braucht man aber die Allgemeine Relativitätstheorie. Eine zweite populäre Gödel-Idee ist sein Gottesbeweis. Er wurzelt in der Modallogik, die mit Möglichkeit und Notwendigkeit operiert, und behauptet die Existenz eines Objekts oder eines Wesens, das alle positiven Eigenschaften in sich vereint. Leider sagte Gödel nirgends, was er mit positiv meinte, und der Beweis erinnert etwas an das Kaninchen, das aus dem Zylinder gezaubert wird.

Kurt Gödel zählte zu den großen Denkern, die unter seelischen Störungen litten. Als seine Frau im Sommer und Herbst 1977 im Krankenhaus lag und sich nicht um ihn kümmern konnte, hungerte er sich halbtot; er starb am 14. Januar 1978 in Princeton. Adele Gödel verstarb 1981. Die Mathematiker und Logiker haben ihren Mann nicht vergessen. Seine deutschen Freunde planen für 2028 ein Kurt Gödel-Jahr.

Grabstätte des Ehepaars Gödel in Princeton